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Impedanzmessungen + Sensoren die darauf beruhen

Einführung

In diesem Unterrichtsblock behandeln wir nach der bereits bekannten Messung von Widerständen zuerst die allgemeine Messung von Impedanzen, d.h. zusätzlich auch noch Kapazitäten und Induktivitäten; dann werden diverse Sensoren betrachtet die auf Kapazitäts- oder Induktivitätsänderungen basieren (insbesondere Abstandssensoren), und zuletzt werde ich Ihnen zeigen wie diese Sensoren elektronisch aufgebaut sind - dabei lernen oder repetieren Sie technisch wichtige Themen wie Schwingkreis, Resonanz und Wirbelstrom.

Resistive, induktive und kapazitive Sensoren

Wir haben bisher Temperatursensoren kennengelernt, die darauf beruhen, dass sich der Widerstand als Funktion der Temperatur verändert. Auf Englisch hiessen diese Sensoren "RTD" für "resistance temperature detector". Man kann ganz allgemein alle Sensoren, die auf Widerstandsänderungen beruhen, als "resistive Sensoren" bezeichnen. Ebenso gibt es Sensoren die auf Kapazitäts- oder Induktivitätsänderungen beruhen, und logischerweise bezeichnet man diese als "kapazitive Sensoren" oder "induktive Sensoren". Bevor wir ein paar Beispiele dazu anschauen, überlegen wir wie man Kapazitäten oder Induktivitäten überhaupt messen kann.

Impedanzmessung

Sie haben bereits gelernt, dass man Widerstände messen kann, indem man sie an eine Konstantstromquelle mit definierten Strom \(I_0\) anschliesst, und die resultierende Spannung misst. Nun können wir uns fragen, wie man denn allgemeiner eine beliebige Impedanz \(Z\) misst, bzw. speziell wie man eine Kapazität \(C\) oder eine Induktivität \(L\) misst.

Es gibt dazu verschiedene Prinzipien, aber am leichtesten zu verstehen ist sicher die Erweiterung der bisher bekannten Widerstandsmessung. Für eine Impedanz gilt ja \(U = ZI\) und damit kann man genau gleich wie bei der Widerstandsmessung vorgehen, mit einer kleinen Änderung.

Alternative Kapazitätsmessung durch Aufladen eines Kondensators

Normale Digitalmultimeter haben keine interne Wechselspannungsquelle, wohl aber eine präzise Gleichstromquelle zur Bestimmung von Widerständen. Die Gleichstromquelle kann zur Aufladung des Kondensators benützt werden, und damit auch zur Kapazitätsmessung. Wird ein Kondensator mit einem Strom \(I_0\) geladen, so gilt für die gemessene Kondensatorspannung \(U_C (t)\):

\(U_C (t) = {I_0 \over C} t\)

Wird nun die Spannung als Funktion der Zeit gemessen während der Kondensator geladen wird, so kann aus dem Anstieg der Spannung die Kapazität berechnet werden. Es gibt dafür auch direkt integrierte Schaltungen (ICs) die solche Messungen durchführen – solche Bauteile können beispielsweise in der Auswerteelektronik von kapazitiven Sensoren eingesetzt werden. Das Bild zeigt einen solchen CU-Wandler.

Induktivitätsmessung

Die Impedanz einer idealen Spule ist \(Z = i \omega L\), und für Impedanzen gilt allgemein \(U = ZI\). Legt man eine Wechselspannung an einer Spule an, und misst dabei die Effektivwerte von Strom und Spannung, so gilt wieder näherungsweise

\(L = {U \over \omega I}\)

Auch die Induktivitätsmessung kann also durch Messung von Wechselstrom und Wechselspannung geschehen – und wieder gilt die Gleichung nur ungefähr (warum?).

Selbstverständlich kann man auch (Wechselspannungs-)Messbrücken mit Kapazitäten oder Induktivitäten versehen und so kleine Änderungen von diesen Grössen bestimmen. Diese Technik wird in dieser Vorlesung nicht weiter besprochen, da wir schon die Messbrücke für Widerstandsänderungen kennengelernt haben; und ich möchte Ihnen bei der Kapazitäts- und Induktivitätsmessung weiter unten ein anderes Messprinzip (Schwingkreis/Resonanz) zeigen.

Beispiele für Sensoren die auf RLC-Messungen beruhen

Resisitive Sensoren

Als resistive Sensoren bezeichet man Sensoren die auf Widerstandsänderungen beruhen. Beispiele dafür sind:

• Temperatursensoren (Pt100, NTC,... s. Kapitel 2), die ihren Widerstand als Funktion der Temperatur ändern.
• Das Hitzdraht-Anemometer misst eine Luftströmung als Abkühlung eines beheizten Widerstands. Je höher die Luftströmung, desto stärker ist die Abkühlung, und damit die Widerstandsänderung. Eine interessante Möglichkeit ist, das Hitzdraht-Anemometer auf eine bestimmte Temperatur zu regeln. Die dazu nötige Leistung ist dann ein Mass für die Strömungsgeschwindigkeit. Da das Widerstandselement immer bei der gleichen Temperatur ist, entfallen die bei Temperatursensoren üblichen „grossen“ Zeitkonstanten.
• Dehnungs-, Kraft- und Drucksensoren: wird ein langer dünner Draht als Widerstand verwendet, und durch eine Kraft noch etwas mehr in die Länge gezogen, so vergrössert sich sein Widerstand (weil er länger und dünner wird). Diese Widerstandsänderung ist proportional zur Dehnung des Drahts, und mit sogenannten Dehnmessstreifen (DMS) können Kräfte, Drücke und Dehnungen gemessen werden (s. späteres Kapitel Kraftmessung).
• Feuchtemessung: absorbierte Luftfeuchtigkeit erniedrigt einen Widerstand, wodurch die Feuchtigkeit ermittelt werden kann.
• Potentiometrische Weg- und Winkelsensoren: Ein Potentiometer besteht aus einem geometrisch ausgedehnten Widerstandselement, an dem eine Speisespannung anliegt, und auf dem mit einem mechanischen Schleifer eine Messspannung abgegriffen wird (Denken Sie bitte auch an den Culatti-Widerstand aus glaL!):

Das Bild unten zeigt den Aufbau eines linearen Potentiometers: Je weiter oben im Bild der Schleifer ist, desto grösser ist die gemessene Spannung. Das Potentiometer ist also einfach ein Spannungsteiler. Aus der Spannungsmessung lässt sich leicht der Abstand rekonstruieren.

Potentiometer sind sehr beliebt als Weg- und Abstandssensoren, es gibt sie in Längen von mm bis Meter. Sie sind der "Default" für Abstandsmessungen. Das Bild unten zeigt einen potentiometrischen Wegsensor. Mit dem Gewinde auf der linken Seite wird er fix mit einem beweglichen Werkstück oder Maschinenteil verschraubt, dessen Bewegung dadurch zu der messbaren Widerstandsänderung führt. Auf der rechten Seite sieht man die 3 elektrischen Anschlüsse.

Zur Erhöhung der Messgenauigkeit wird das Potentiometer oft als Element einer Messbrücke eingesetzt.

Kapazitive Sensoren

Kapazitive Sensoren beruhen auf der Messung einer Kapazität (bzw. ihrer Änderung). Die Kapazität eines Plattenkondensators mit Fläche A und Abstand d zwischen den Platten ist gegeben durch

\(C = {A \varepsilon \varepsilon_0 \over d}\)

Für Kondensatoren mit anderer Geometrie ist die Lage ähnlich, darum wird hier nur auf den Plattenkondensator eingegangen. Die Kapazität kann also durch alle drei Grössen \(A, \varepsilon, d\) beeinflusst werden. Damit ergeben sich vielfältige Konstruktions- und auch Anwendungsmöglichkeiten für kapazitive Sensoren:

• Weg- und Winkelsensoren: Die Fläche \(A\) des Kondensators wird geometrisch variiert (zwei Rohre ineinander die verschoben werden; Platten, die zueinander verdreht werden).
• Mikrofone: die eine Platte des Plattenkondensators ist auf einer elastischen Membran aufgebracht, die durch Luftdruckschwankungen (Schall!) bewegt wird.
• Füllstandsmessungen: eine Flüssigkeit wirkt als Dielektrikum im Kondensator; je höher der Füllstand ist, desto höher wird die Kapazität.
• Feuchtemessungen (Luft, Boden, Materialfeuchte): Wasser hat eine vergleichsweise hohe Dielektrizitätskonstante (\(\varepsilon \approx 80 \)). Dies nützt man in Feuchtesensoren aus, die auf Materialfeuchte oder Luftfeuchtigkeit reagieren.
• Abstandssensoren: Eine beliebte Version des kapazitiven Sensors ist ein berührungsloser Abstandssensor: wird der Kondensator so aufgebaut, dass sein Feld ausserhalb des Kondensators zugänglich ist, so kann die Annäherung eines Gegenstands mit \(\varepsilon > 1\) detektiert werden.

Das Bild unten zeigt links die geometrische Anordnung der beiden Elektroden eines kapazitiven Abstandssensors; und rechts das Prinzipschema dazu, wo der Kondensator als Plattenkondensator dargestellt ist. Das elektrische Feld im realen Sensor ist zwischen den beiden Elektroden, d.h. zwischen der grauen runden Elektrode innen, und der äusseren weissen "offenen Büchse". Natürlich ist das Feld am stärksten direkt im Inneren dieser weissen Büchse, aber ein paar Feldlinien ragen auch nach vorne heraus, so dass ein Objekt das sich nähert, das elektrische Feld stört und damit die Kapazität dieses Kondensators erhöht.

Das nächste Bild zeigt einen typischen kapazitiven Abstandssensor mit Aussengewinde für leichten Einbau. Der Kondensator (genau wie im Bild oben aufgebaut) befindet sich links in der grünen Kappe, geschützt vor äusseren Einflüssen – Gegenstände die von links auf diese Kappe zubewegt werden, werden vom Sensor erkannt.

Dielektrizitätskonstanten

Kapazitive Abstandssensoren haben den grossen Vorteil dass sie (im Gegensatz zum Potentiometer oben) ohne bewegliche Teile auskommen. Sie werden nur durch die relative Dielektrizitätskonstante (oder "relative Permittivität") des Messobjekts beeinflusst. Um kapazitive Abstandssensoren besser zu verstehen muss man wissen wie gross \(\varepsilon\) etwa sein kann, denn die Kapazität eines Kondensators ist ja proportional zu \(\varepsilon\) - kapazitive Sensoren reagieren also nicht auf alle Materialien gleich! Die folgende Tabelle aus Wikipedia gibt uns einen Anhaltspunkt:

Betrachtet man die Tabelle so sieht man dass allgemein in etwa gilt:

• Gase haben eine relative Dielektrizitätskonstante von ganz wenig mehr als 1
• Viele Feststoffe haben einstellige \(\varepsilon\)
• Wasser hat eine auffällig hohe relative Dielektrizitätskonstante, was sich zB auch im Unterschied feuchte Erde zu trockene Erde bemerkbar macht.
• Metalle kommen in der Tabelle nicht vor, weil die relative Dielektrizitätskonstante eben für "Dielektrika" angebeben wird, d.h. für isolierende Stoffe. Stellt man sich die relative Dielektrizitätskonstante so vor dass sie von der Polarisierbarkeit stammt, so ist klar dass \(\varepsilon\) für ein Metall theoretisch unendlich gross ist.

  Daraus können wir die folgenden allgemeinen Eigenschaften von kapazitiven Abstandssensoren ableiten: Kapazitive Abstandssensoren reagieren auf praktisch alle Feststoffe, nicht aber auf Gase. Sie reagieren besonders stark auf Metalle. Sie können durch Feuchtigkeit (Spritz- und Kondenswasser) gestört werden; umgekeht kann man natürlich leicht Feuchtesensoren bauen die auf einer kapazitiven Messung beruhen.

Da \(\varepsilon\) eine Materialeigenschaft ist, reagieren kapazitive Abstandssensoren für unterschiedliche Materialien stärker oder schwächer, je nach \(\varepsilon\) des Materials das sich nähert. Da elektrische Felder in Dielektrika eindringen, wird der Sensor auf dicke Objekte stärker reagieren als auf dünne.

Im Video zeige ich Ihnen diese Dinge anhand eines Demo-Abstandssensors im Mess- und Sensortechniklabor.

Auswerteschaltung

Wir haben bereits gesehen dass man die Kapazität eines Kondensators prinzipiell mit Wechselstrom mit Hilfe von \(U = ZI\) bestimmen kann. Für die Auswertung von kapazitiven Sensoren werden aber direkt C-U-Umsetzer verwendet, oder Schwingkreise. Im Video haben Sie gehört wie der Demo-Sensor ein Geräusch macht, dessen Frequenz umso höher ist je grösser der Messeffekt ist. Diese Auswerteschaltung misst die Frequenz eines Schwingkreises, und gibt ihre Differenz zu der "ungestörten" Frequenz auf dem Lautsprecher aus. Der Schwingkreis wird beim induktiven Sensor noch genauer diskutiert.

Induktive Sensoren

Induktive Sensoren arbeiten mit Spulen anstatt mit Kondensatoren. Ähnlich wie bei resistiven und kapazitiven Sensoren die kleine Änderungen von \(R\) und \(C\) messen, kann man sich vorstellen dass induktive Sensoren kleine Änderungen von \(L\) messen. Dies ist aber nur die halbe Wahrheit: Die Induktivität von Spulen lässt sich zwar tatsächlich dadurch beeinflussen dass man einen Eisenkern in eine Spule einbringt, und es gibt Sensoren die so arbeiten (sogenannte Tauchanker-Aufnehmer); aber die meisten induktiven Sensoren funktionieren anders. Im Tauchanker-Aufnehmer erhöht der Eisenkern die Induktivität der Spule, was gemessen + ausgewertet werden kann. Dieser Sensor hat aber wie oben schon bei den resistiven Sensoren gesehen den Nachteil dass er einen beweglichen Teil enthält.

Im Bild unten ist ein sogenannter Tauchanker-Sensor gezeigt. Ein Eisenkern wird um die Strecke \(l-s\) in die Spule der Länge \(l\) mit \(N\) Windungen eingebracht, und verändert dadurch die Induktivität der Spule.

Bei den kapazitiven Sensoren war die Dielektrizitätskonstante \(\varepsilon\) die ausschlaggebende Materialeigenschaft, bei dem Eisenkern ist es seine magnetische Permeabilität \(\mu\). Auch hier lohnt sich ein Blick in eine Tabelle aus Wikipedia um festzustellen was für Materialien ausser Eisen man so nachweisen könnte:

Man sieht dieser Tabelle an, dass \(\mu\) für fast alle Materialien ziemlich genau 1 ist. Nur eine ganz besondere Klasse von Materialien – die Ferromagnete – haben "grosse" \(\mu\). Dazu gehören nur 3 reine Elemente, nämlich Eisen, Kobalt und Nickel. Alle anderen reinen Metalle haben \(\mu \approx 1\).

Will man den Tauchanker-Sensor beschreiben, so muss man wissen wie ein Material mit \(\mu >> 1\) (wie der Eisenkern) die Induktivität der Spule verändert. Dazu gibt es folgende Näherungsformel:

\(L \approx {\mu_0 N^2 A \over s}\)

wobei \(s\) die Länge des Luftraums innerhalb der Spule ist. \(\mu\) selber kommt in der Formel nicht vor, da es als quasi unendlich angenommen wurde. Materialien mit \(\mu \approx 1\) können die Induktivität der Spule hingegen nicht verändern, und könnten so nicht detektiert werden. Trotzdem gibt es berührungslose induktive Abstandssensoren, die von aussen genau gleich aussehen wie die oben beschriebenen kapazitiven Abstandssensoren. Sie werden besonders in Maschinenanlagen zu Millionen verbaut und erkennen zuverlässig alle Metalle, nicht nur ferromagnetische Metalle! Sie arbeiten nicht mit einer direkten Induktivitätsmessung der Spule!

Induktive Abstandssensoren

Die induktiven Abstandssensoren sind so aufgebaut dass das Magnetfeld einer Spule aus dem Sensor austritt – ähnlich wie beim kapazitiven Sensor das elektrische Feld austritt. Dies ist im Bild unten gezeigt, links ist ein induktiver Abstandssensor ohne, rechts mit einer Abschirmung dargestellt. Quelle.

Die Abschirmung des Felds wie rechts im Bild gezeigt, dient dazu dass der Sensor in ein metallisches Objekt bündig eingebaut werden kann, ohne dass er dauernd angibt; der Aufbau links würde vom metallischen Objekt in das er eingebaut würde bereits dauernd ein Signal ausgeben. Diese induktiven Abstandssensoren gibt es in einer Vielzahl von Ausführungen damit sie auch in jeder möglichen Anwendung gut eingebaut werden können. Ein Beispiel für die vielfältigen Bauformen solcher Sensoren ist im Bild unten gezeigt. Quelle.

Auswerteschaltung induktiver Sensoren

Nach den bisherigen Ausführungen ist klar, dass die induktiven Sensoren für nicht-ferromagnetische Materialien im Einflussbereich des Sensors gar keine Veränderung der Induktivität messen können. Trotzdem erfassen sie zuverlässig alle Metalle – wie kann das gehen? Hier nutzt man mehrere Phänomene, die Sie vielleicht aus anderen Modulen bereits kennen – darum ist es schön diese Anwendung der ehemals eventuell trockenen Theorie anzuschauen.

In der Physik haben Sie vermutlich das Pendel kennengelernt – entweder als Fadenpendel oder als Federpendel. Charakteristisch für das Federpendel ist dass es eine rücktreibende Kraft hat, die proportional zu der Auslenkung ist: \(F = -kx\). Damit ergibt sich mit Hilfe von \(F = ma\) die Differentialgleichung:

\(F = ma = m \ddot x = -kx\)

Oder

\(\ddot x = -{k \over m}x\)

Für das Fadenpendel gilt näherungsweise dasselbe für den Winkel \(\alpha\) statt für den Weg \(x\).

Dies erinnert Sie ans Kapitel 2 und die Differentialgleichung für das Verhalten des Temperatursensors (oder von Aufladungsvorgängen von Kondensatoren, oder von radioaktiven Zerfällen). Diesmal steht links allerdings die zweite Ableitung nach der Zeit da.

Da die Zahl in der Wurzel negativ ist, ergibt sich eine rein imaginäre Zahl für das \(\lambda\), darum sind die Lösungen nicht mehr Exponentialfunktionen, sondern Schwingungen der Form

\(x(t) = x_0 sin(\omega_0 t) ; \quad \omega_0 = \sqrt {k \over m}\)

\(\omega_0\) ist die Kreisfrequenz der Schwingung.

Der elektrische Schwingkreis

In der Elektrotechnik gibt es eine einfache und schöne Entsprechung zum mechanischen Pendel, den sogenannten LC-Schwingkreis (Bild aus Wikipedia):