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Temperaturmessung

Bedeutung, Anwendungsbereiche, Messprinzipien

Zur Einführung in das Thema schauen Sie bitte das Video in dem ich als Einstieg und Überblick etwas über die Bedeutung der Temperaturmessung, die Anwendungsbereiche sowie die Messprinzipien erzähle.

Aufgabe zu Ausdehnungsthermometern: die meisten Materialien dehnen sich mit der Temperatur aus, und können daher prinzipiell für eine Temperaturbestimmung benutzt werden. Gegeben sei ein beliebiger Gegenstand, der bei der Temperatur T0 die Länge ℓ0 hat. Können Sie eine Gleichung angeben wie sich die Länge ℓ als Funktion der Temperatur ändert, d.h. ℓ(T) = ... hinschreiben?
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Tipp:

Die Aufgabe ist sehr allgemein gestellt - also braucht es eine möglichst allgemeine Lösung. Wie kann man eine beliebige Funktion immer darstellen (Analysis)?

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Lösung:

Die Mathematik garantiert uns dass wir jede (oder jede vernünftige) Funktion immer als Taylorreihe darstellen können. Wir können darum ganz sicher schreiben: ℓ(T) = ℓ0 + ℓ1∙(T-T0) + ℓ2∙(T-T0)2 + ℓ3∙(T-T0)3 + ...

Sie haben in der Analysis vermutlich auch gelernt, dass man eine beliebige Funktion umso genauer darstellen kann, je mehr Terme man in der Taylorentwicklung verwendet; und dass man oft nur so viele Terme wie nötig verwendet, und nicht so viele wie möglich. Darum sieht man sehr oft die "lineare Näherung": ℓ(T) = ℓ0 + ℓ1∙(T-T0) - der Gegenstand dehnt sich mit der Temperatur linear aus. Das ist eine sehr gute Näherung, aber bitte denken Sie immer daran dass es nur eine Taylorentwicklung ist, und es ganz sicher auch Terme "höherer Ordnung" gibt (also mit (T-T0)2 etc.), die einfach vernachlässigt wurden.

Aufgabe zu Widerstandsthermometern: Metalle haben die Eigenschaft dass ihr elektrische Widerstand steigt wenn man sie erwärmt. Gegeben sei ein metallischer Gegenstand, der bei der Temperatur T0 den Widerstand R0 hat. Können Sie eine Gleichung angeben wie sich der Widerstand R als Funktion der Temperatur ändert, d.h. R(T) = ... hinschreiben?
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Tipp:

Genau derselbe wie vorher!

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Lösung:

Natürlich geht es auch hier mit einer Taylorreihe: R(T) = R0 + R1∙(T-T0) + R2∙(T-T0)2 + R3∙(T-T0)3 + ...

Wir können jetzt versucht sein, in Analogie zu der Längenausdehnung nur den linearen Term zu benützen und alles andere zu vernachlässigen - aber ob das eine gute oder schlechte Idee ist, werden wir später experimentell herausfinden!

Aufgabe zu Thermoelementen: Gegeben sei ein Thermoelement, das bei der Temperatur T0 die Spannung U0 hat. Können Sie eine Gleichung angeben wie sich die Spannung U als Funktion der Temperatur ändert, d.h. U(T) = ... hinschreiben?
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Tipp: Ich hoffe, niemand klickt auf den Tipp - denn es ist ja immer dasselbe...
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Lösung:

Natürlich geht es auch hier mit einer Taylorreihe: U(T) = U0 + U1∙(T-T0) + U2∙(T-T0)2 + U3∙(T-T0)3 + ...

Und genau wie beim Widerstandsthermometer ist a priori unklar, wie viele solcher Terme man verwenden muss, und nur ein Vergleich mit der Realität kann uns zeigen wie viele Terme man braucht!

Ausdehnungsthermometer

Ausdehnungsthermometer sind etwas altmodisch, aber sie waren und sind immer noch beliebt z.B. in Wohnräumen. Ich bespreche im Video einige verschiedene Bauformen, und insbesondere als "wissenschaftliche Errungenschaft" das Gasthermometer, mit dem man die Existenz des absoluten Nullpunkts vorhersagen konnte. Im Gegensatz zu den modernen Widerstandstemperatursensoren und den Thermoelementen liefern die Ausdehnungsthermometer nicht direkt ein elektrisches Signal und sind darum in der modernen Messtechnik nur von untergeordneter Bedeutung.

Widerstandsthermometer

Widerstandsthermometer sind heute die wichtigsten Temperatursensoren. Es gibt sie in ganz vielen verschiedenen Ausführungen; insbesondere kann sich der Widerstand mit der Temperatur erhöhen (für Metalle) oder verringern (für Halbleiter), und von den vielen möglichen Ausführungen der Widerstandsthermometer muss man dann je nach Anforderungen an Temperaturbereich, Messgenauigkeit, Preis oder Langzeitstabilität das passende Element aussuchen. Im Video bestimme ich die Kennlinie eines Pt100-Sensors d.h. es wird gemessen wie sich der Widerstand als Funktion der Temperatur ändert. Machen Sie sich bitte beim Schauen des Videos Notizen von den Temperaturen und Messwerten, damit Sie im nächsten Abschnitt die Kennlinie des Pt100 plotten und fitten können.

Fit der Kennlinie mit Excel

Aufgabe

Im Video wurde für die Temperaturen 0, 30.05, 60.06, 90.11, 120.11, 150.03 und 179.97°C der Widerstand des Pt100 bestimmt. Machen Sie sich eine Excel-Datei, in der Sie die Werte des Widerstands als Funktion der Temperatur plotten; und versuchen Sie einen Fit an die gemessenen Daten zu machen. Wir haben oben ja bereits gesagt dass dies mit einem Polynom sicher geht, dass aber unklar ist ob eine lineare Funktion ausreichend ist, oder ob man noch einen quadratischen, kubischen etc. Term mitnehmen muss. Probieren Sie also mit Excel herauszufinden, was für ein Polynom ideal ist!

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Wenn Sie den Plot gemacht haben, dann probieren Sie die lineare Funktion aus, dann ein Polynom 2. Grades, 3. Grades usw. Lassen Sie sich dabei immer von Excel auch die Gleichung anzeigen sowie das Bestimmtheitsmass R2. Sie wissen aus dem Grundlagenlabor ja noch: je grösser R2, desto besser - aber schauen Sie auch einfach von Auge ob und wann Ihnen der Fit "genügend gut" erscheint.
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Im Video unten führe ich Ihnen die "Lösung" vor - ich würde das dann gerne in der Stunde mit Ihnen besprechen; machen Sie sich also bitte auch Ihre Gedanken dazu!
Zusammenfassend zu diesem ersten Versuch die Kennlinie mit Excel zu fitten, können wir sicher schon sagen: Alle versuchten Fits sind ziemlich gut, und falls alle genügend gut wären, dann könnten wir einfachheitshalber mit der linearen Funktion arbeiten; da ist im Excel herausgekommen: R(T) = 100.29 + 0.3807∙T. Die Steigung dieser Geraden - 0.3807 Ω/K - nennt man auch die Empfindlichkeit des Sensors; denn je grösser diese Steigung ist, desto empfindlicher ist das Ausgangssignal des Sensors auf eine Änderung der Temperatur. Wir können uns auch näherungsweise merken: pro °C Temperaturänderung ändert sich der Widerstand etwa um 0.4Ω. Wenn Sie bei einem Pt100 einen Widerstand von 140Ω messen, dann wissen Sie auch ohne lange Berechnung dass die Temperatur etwa 100°C beträgt.

Fit mit Matlab

Wie Sie im Video zum Excel-Fit gesehen haben, kann man mit Excel nicht ganz sicher sein welches Polynom nun wie gut passt. Nicht ganz überraschend ist Excel auch nicht das ideale Tool dafür, und mit anderen Programmen kann man wesentlich besser fitten. Ich zeige Ihnen im Video unten was man mit Matlab zusätzlich machen kann!
Aufgabe

Jetzt sind Sie dran: nehmen Sie die Daten von der Widerstandsmessung, und benützen Sie sie um mit Matlab einen Fit zu machen. Lassen Sie sich die Residuen anzeigen wie im Video gezeigt, und versuchen Sie nochmal die Frage zu beantworten: welches Polynom ist das Beste?

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Die Die Fits selber sind natürlich genau gleich gut oder gleich schlecht wie in Excel - aber dank den Residuen sehen Sie viel besser wie viel ein zusätzlicher Term im Polynom nützt. Gibt es rein von der Verbesserung der Residuen her irgendwo einen deutlichen Unterschied?
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Das Polynom 2. Grades ist viel besser als die lineare Funktion. Man sieht dies an zwei Dingen: 1) die Residuen für die lineare Funktion haben einen klaren Trend - sie sehen ein bisschen aus wie eine Parabel, d.h. es fehlt ein Term 2. Grades im Polynom. 2) die Residuen werden massiv kleiner (Faktor 5 oder so) wenn man den Term 2. Grades dazu nimmt.
Ein Polynom höheren Grades bringt nicht mehr viel - natürlich werden die Residuen noch etwas kleiner, aber nicht mehr Faktor 5, und man sieht auch keinen Trend mehr in den Residuen des Polynoms 2. Grades, der offensichtlich zum Verschwinden gebracht werden könnte durch weitere Terme.
Aufgabe

Wir haben nun dank dem Residuenplot eine bessere idee davon, was das "Beste" Polynom sein könnte. Aber eine wirklich 100% befriedigende Antwort haben wir immer noch nicht - denn je höher man den Grad des Polynoms macht, desto kleiner werden die Residuen - das ist von der Mathematik so vorgegeben: mehr Terme in der Taylorentwicklung gibt einfach einen besseren Fit. Wenn wir die Frage "was ist das beste Polynom" wirklich beantworten wollen, dann reicht die Mathematik alleine nicht aus. Wir müssen auch über die Anwendung sprechen - hier: die Messung einer Temperatur. Im Grundlagenlabor haben wir sehr viel über Messunsicherheit gesprochen. Überlegen Sie: was hat das Thema Messunsicherheit mit der Frage nach dem besten Polynom zu tun?

Tipp
Eine der ganz wesentlichen Erkenntnisse bezüglich Messunsicherheit ist die Beobachtung, dass jede Kette nur so stark ist wie das schwächste Glied. Auf die Messunsicherheit übertragen bedeutet das: wenn verschiedene Terme zu der gesamten Messunsicherheit beitragen, dann wird die gesamte Messunsicherheit meistens von dem unsichersten Element bei der Messung dominiert (weil die Fehlerfortpflanzung mit Pythagoras erfolgt!). Bei der Temperaturmessung via Widerstand haben wir eine Messunsicherheit bei der Widerstandsmessung, eine Unsicherheit bezüglich R(T) des Sensorelements, und wir haben den Fit der Kennlinie, der falls er von den echten Messdaten abweicht, ebenfalls zu der Unsicherheit beiträgt. Was könnten wir also bezüglich der Abweichung von Fit zu Messdaten fordern?
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Wenn man in den Datenblättern der Pt100-Sensoren schaut (s. Details, weiter unten), so sind typische Messunsicherheiten die vom Sensor alleine kommen, in der Grössenordnung von 0.1 - 0.2 K. Ist also der Fehler den man bei der Kennlinie beim Fit macht geringer als diese sowieso vorhandene Messunsicherheit, so können wir gut damit leben. Ist der Fehler grösser, dann ist es schade, denn dann wird das eigentlich präzise Sensorelement von dem schlechten Fit "kaputtgemacht".

Ganz konkret können wir uns in diesem Fall mit Hilfe der linearen Näherung überlegen, wie gross die Abweichung von 0.1K als Widerstandsänderung ausgedrückt ist, und ob die Residuen "genügend" klein sind. Bitte versuchen Sie schon vor der Besprechung zu überlegen was das bedeutet, ich diskutiere das in der Besprechung mit Ihnen!

Genauigkeitsklassen für Pt100

Beim Fit der Kennlinie bzw. bei der Frage danach, ob ein Fit "genügend gut" ist, konnten wir die Frage nicht beantworten, ohne zu wissen wie genau die Pt100-Sensoren eigentlich sind - das muss man in den Datenblättern nachlesen, und man findet dort heraus dass verschiedene normierte Genauigkeitsklassen existieren; sie heissen AA, A, B und C. Für den maximal zulässigen Fehler gilt:

Klasse A: ±(0.15 + 0.002 |θ|)°C

Klasse B: ±(0.3 + 0.005 |θ|)°C

Dabei ist θ die Temperatur in °C. Die Klasse AA wird manchmal auch DIN1/3 oder 1/3DIN genannt, und ist 3x genauer als Klasse B; zusätzlich gibt es noch die Klasse 1/10DIN, die 10x genauer ist als die Klasse B.

Aufgabe

Berechnen Sie den maximalen Fehler ΔT eines Klasse-B-Elements bei einer Temperatur von 400°C.

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2.3°C. Mit einem 1/10DIN Pt100 hätte man entsprechend nur 0.23°C maximalen Fehler; man kann also mit Pt100-Sensoren Temperaturen sehr genau messen, typischerweise auf einige 0.1°C genau. Zu dem Fehler des Sensors kommt natürlich auch noch die Messunsicherheit des Multimeters hinzu. Sie haben bereits im Video mit der Kennlinienbestimmung gesehen dass das Multimeter garantiert die letzte angezeigte Stelle - 0.1Ω nicht mehr sicher angeben kann, d.h. wir haben trotz Nutzung eines guten Tischmultimeters sicher mindestens eine Messunsicherheit von 0.1 Ω, was auch schon einer Unsicherheit von 0.25K entspricht.

Die offizielle Kennlinie

Wir haben im Versuch selber die Kennlinie eines Pt100 Sensors bestimmt; natürlich gibt es dazu auch eine offizielle Kennlinie. Sie wird ein bisschen anders geschrieben als bei unserem Versuch, als:

R(θ) = 100·(1 + 3.9083·10-3 θ - 0.5775·10-6 θ2) Ω

Diese Kennlinie gilt für den Bereich 0-850°C.

Weil man die "krummen" Konstanten in der Gleichung nicht unbedingt aufschreiben möchte, nennt man sie manchmal α und β:

R(θ) = 100·(1 + α·θ + β·θ2) Ω

Für den Temperaturbereich von -200°C...0°C fügt man einen weiteren Term hinzu:

R(θ) = 100·(1 + 3.9083·10-3 θ - 0.5775·10-6 θ2 – 4.183·10-12(θ-100) θ3) Ω

Beachten Sie, die angegebenen Temperaturbereiche gelten lediglich für den Fit, sie sagen nichts aus darüber ob ein Pt100 Sensor geeignet ist für diesen Messbereich. Die meisten Pt-Sensoren sind nur in einem eingeschränkten Bereich einsetzbar (Datenblatt konsultieren).

Im Vergleich zu unserem Fit fällt auf, dass ein Vorfaktor 100 = R0 herausgezogen wurde aus der Formel; dies hat den Vorteil dass die Gleichung sehr leicht umgeschrieben werden kann für andere Pt-Sensoren wie das Pt1000, das bei 0°C einen Widerstand von 1000 Ω hat.

Aufgabe

Vergleichen Sie unseren Fit mit den offiziellen Werten. Stimmt unser Fit mit der "richtigen" Kennlinie überein, bzw. wie gut stimmt der Fit überein?

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Wenn wir "unseren" quadratischen Fit auf die gleiche Form bringen wie die offizielle Kennlinie, dann lautet er:

R(θ) = 100·(1.007 + 3.8945·10-3 θ - 0.4873·10-6 θ2) Ω

Die ersten beiden Terme stimmen "sehr gut" mit dem offiziellen Fit überein (weniger als 1% Abweichung), der quadratische Term hingegen ist um 16% daneben. Warum ist wohl der quadratische Term verglichen mit den anderen Termen so schlecht gefittet?

Dateninversion

Wir haben die Kennlinie des Pt100 bestimmt bzw. nun die offizielle Kennlinie kennengelernt; entweder als lineare Kennlinie

R(θ) = 100·(1 + α·θ ) Ω

Oder als quadratische Kennlinie

R(θ) = 100·(1 + α·θ + β·θ2) Ω

Nun ist die Aufgabe normalerweise umgekehrt: wir werden mit dem Sensor einen Widerstand messen, und sollten dann die Temperatur bestimmen. Wir hätten also eigentlich gerne in der Praxis die Umkehrfunktion T(R) und nicht die Kennlinie R(T)!

Aufgabe

Geben Sie die Umkehrfunktion für die lineare Kennlinie an!

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Eine lineare Funktion ist leicht zu invertieren, man bekommt

θ = α-1(R/100 - 1)

Aufgabe

Geben Sie die Umkehrfunktion für die quadratische Kennlinie an!

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Eine quadratische Funktion kann man dank der "Mitternachtsformel" natürlich auch noch invertieren - aber es ist schon mühsamer. Ausserdem könnte man auch noch Terme höheren Grades haben (z.B. für den Temperaturbereich unter 0°C, oder für andere Sensoren). Der Spezialfall der quadratischen Kennlinie ist also gar nicht so interessant und darum lösen wir die Aufgabe gar nicht sondern fragen weiter...
Aufgabe

Was machen wir wenn wir eine Kennlinie aufgenommen haben die nur durch ein Polynom 3. Grades (oder noch höher) beschrieben werden kann? Bitte überlegen Sie wie Sie dann vorgehen könnten - ich werde das bei der Besprechung mit Ihnen diskutieren.

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Algebraisch invertieren geht nicht mehr. Aber wenn man R(T) mit einem Polynom dritten Grades fitten kann, dann kann man auch...?

Details zu Pt100 & co

Wir haben nun die Widerstandstemperatursensoren bereits gut kennengelernt, zum Abschluss möchte ich per Video auf ein paar Details zu sprechen kommen. Zuerst: Warum benützt man Platin, warum Schutzrohre, wie ist die Konstruktion eines Pt100?

Als nächstes schauen wir uns an ob es wirklich eine Vierleitermessung braucht, bzw. wie viel sie bringt.

Als letztes schauen wir noch das Thema Eigenerwärmung an, und finden heraus warum es nicht nur Pt100 sondern auch Pt1000 gibt!

Halbleitersensoren

Ich habe oben die Platin-Widerstandssensoren sehr detailliert behandelt, da wir anhand dieser Sensoren gerade ganz viel über Mess- und Sensortechnik allgemein lernen konnten. Es gibt natürlich noch weitere wichtige Widerstands-Temperatursensoren, die hier aber nur noch kurz erwähnt werden sollen. Diese Sensoren sind als "NTC" oder "PTC" bekannt, es handelt sich um Halbleiter die normalerweise anders als Metalle einen mit steigender Temperatur sinkenden Widerstand haben - also einen "negativen Temperaturkoeffizienten des Widerstands", oder auf Englisch, "Negative Temperature Coefficient" - daher die Abkürzung NTC. Halbleiter sind im Gegensatz zu Platin eben keine Edelmetalle und daher sind diese Sensoren anfälliger auf Alterung. Als drei grosse Vorteil haben sie aber (1) die generell deutlich höheren Widerstandswerte (typisch um 25 kΩ), was wie oben gesehen sowohl die Vierleitermessung überflüssig macht und die Eigenerwärmung vernachlässigbar; (2) eine stärkere Änderung des Widerstands mit der Temperatur (höhere Empfindlichkeit), so dass man leichter kleine Temperaturänderungen detektieren kann; und (3) sind sie sehr billig (noch viel billiger als die vorher gezeigten billigen Pt-Sensoren).

Im Video zeige ich Ihnen ein spezielles Messgerät das in einem sehr stark eingeschränkten Bereich sehr genau messen kann - es basiert auf so einem Halbleitersensor.

Neben den NTC gibt es auch noch PTC - diese haben überraschenderweise für Halbleiter einen positiven Temperaturkoeffizienten, d.h. der Widerstand steigt mit steigender Temperatur. Dies wird duch spezielle Dotierung (Verunreinigung) der Halbleiter erreicht, und an kann so noch grössere Widerstandsänderungen erreichen als mit den NTC. Die PTC-Sensoren sind aber tendenziell wenig stabil.

Als letzter Vertreter der Halbleitertemperatursensoren sind reine Siliziumsensoren zu nennen. Silizium ist das Material aus dem alle Prozessoren gemacht sind, und wenn man einen Sensor basierend auf Silizium bauen kann, so kann man gleich die ganze Elektronik auf dem gleichen Sensorelement mitbauen. Die Schweizer Firma Sensirion gehört in diesem Bereich zu den Weltmarktführern, und verkauft winzige und präzise Temperatur- und Feuchtesensoren auf Siliziumbasis. Unten können Sie ein Werbevideo dazu schauen - beachten Sie insbesondere die Dimension des Sensors, der nicht nur Temperatur sondern auch Feuchte messen kann.

Zusammenfassung

In diesem Unterrichtsblock haben Sie hauptsächlich Widerstandstemperatursensoren kennengelernt. Mit diesen Sensoren kann eine Widerstandsmessung in eine (absolute) Temperatur umgerechnet werden; insbesondere die Platin-Sensorelemente sind sehr präzis und langzeitstabil. Ich würde Ihnen generell die Verwendung von Pt1000 empfehlen, da man sich viel Ärger mit schlecht reproduzierbaren, driftenden Messsignalen erspart die man mit anderen Sensoren hat. In elektronischen Geräten setzt man gerne Sensorelemente ein, die direkt digitale Signale ausgeben können, so wie die siliziumbasierten Sensoren von Sensirion.

Lösen Sie bitte im Anschluss an das Theoriestudium die Übung 2!